Por que $y = x^2 + 4$ não tem raízes reais?

A parábola $y = x^2 + 4$ flutua acima do eixo $x$ e nunca o toca. Parece que as raízes não existem. Para encontrá-las precisamos de um novo eixo — o eixo imaginário.

Substituindo $x$ por um número complexo $z = a + bi$, a função $y(z) = z^2 + 4$ passa a depender de dois parâmetros reais. A parte real do resultado é:

\text{Re}(y) = a^2 - b^2 + 4

Esta expressão define uma superfície hiperbólica em 3D. Os zeros (raízes) ficam no plano y = 0 — mas agora podem ser encontrados ao longo do eixo imaginário ($a = 0$, $b = \pm 2$).

Superfície $\text{Re}(y) = a^2 - b^2 + 4$

3D interativo — arraste para girar

Plano de corte paralelo

b = −3 b = 0 b = +3

$$y = a^2 + 4 \qquad (b = 0)$$

Seção transversal — interseção do plano de corte com a superfície

A "Parábola Fantasma"

Fixando $a = 0$ (eixo puramente imaginário), a parte real da equação se torna:

$$y = -b^2 + 4$$

É uma parábola de boca para baixo, ortogonal à parábola original, que parte do vértice $y = 4$ e cruza o plano zero em $b = \pm 2$. Estas são as raízes complexas $z = +2i$ e $z = -2i$.

Para se convencer de que de fato $b = 0$ não gera zeros, e que $a = 0, b = \pm 2$ sim, use o slider acima e observe quando a curva toca o eixo $y = 0$.

Parábola real ($b = 0$) $y = a^2 + 4$ sem zeros reais

Parábola fantasma ($a = 0$) $y = -b^2 + 4$ zeros em $b = \pm 2$