Introdução à Transformada de Laplace

Prof. Henrique Amorim — CE2

A Transformada de Laplace é uma generalização da Transformada de Fourier. Enquanto Fourier decompõe um sinal em frequências puramente imaginárias — operando no eixo imaginário $s = j\omega$ — Laplace estende essa análise ao plano complexo completo, onde $s = \sigma + j\omega$.

O parâmetro $\sigma$ (parte real de $s$) controla o crescimento ou amortecimento exponencial do sinal. Quando $\sigma = 0$, Laplace se reduz à Transformada de Fourier — que é, portanto, um caso especial de Laplace restrito ao eixo imaginário puro.

➜ Conteúdo extra Visualização gráfica de raízes complexas conjugadas no plano imaginário

Laplace

$s = \sigma + j\omega$ — plano complexo completo

Fourier

caso especial: $\sigma = 0 \;\Rightarrow\; s = j\omega$

Sinais Periódicos / Senoidais

$x(t) = \cos(\omega t),\;\sin(\omega t)$

converge para $\sigma = 0$

Somente Laplace

$\sigma \neq 0$ — parte real não-nula

Sinais Exponenciais

$x(t) = e^{-\sigma t} \cdot \cos(\omega t)$

$\sigma > 0$ → amortecimento

$\sigma = 0$ → oscilatório puro

$\sigma < 0$ → crescimento

Fourier $\subset$ Laplace — Fourier é um caso especial de Laplace com $\sigma = 0$

$f(x) = \cos(2x)$

Transformada de Fourier de $\cos(2x)$: impulsos em $\omega = \pm 2$

Pulso retangular $\mathrm{rect}(t)$: largura 1, altura 1, centrado em $t = 0$, de $-0{,}5$ a $0{,}5$

Transformada de Fourier de $\mathrm{rect}(t)$: $X(j\omega) = \mathrm{sinc}(\omega) = \dfrac{\sin(\omega)}{\omega}$

Visualização interativa de $X(j\omega) = \dfrac{1}{(2-\omega^2) + 2\omega\,j}$

ω = 1.00 Re = Im = |X(ω)| =

Números Reais — $|X(j\omega)|$ vs $\omega$

Plano Complexo

Visualização interativa de $X(s) = \dfrac{1}{1+(1+s)^2}$, com $s = \alpha + j\omega$

s = Re = Im = |X(s)| =

$|X(s)|$ vs $\omega$ para $\alpha$ fixo

Plano Complexo — $X(s)$

Superfície $|X(s)|$ no plano $(\alpha,\,\omega)$ — altura limitada a 5

$x(t) = e^{-t}\sin(t) \cdot e^{-\alpha t} = e^{-(1+\alpha)t}\sin(t)$

Par Transformada de Laplace — domínio do tempo vs domínio de $s$

Domínio do Tempo

x(t) = e^{-t}\sin(t)\,u(t)

Laplace ⟷

Domínio de $s$

X(s) = \frac{1}{(s+1)^2 + 1}

válido para $\,\text{Re}(s) = \alpha > -1$ (Região de Convergência)

Plano $s = \alpha + j\omega$ — polos de $X(s)$ e Região de Convergência

Complexos conjugados

Efeito dos polos no comportamento de $x(t) = e^{-\alpha\, t}\sin(\omega\, t)$

Freq. oscilação  $\omega$

Freq. amortecimento  $\alpha$

Plano $s$ — localização dos polos

$x(t)$ no domínio do tempo